TEORI BAHASA DAN AUTOMATA

I. PENDAHULUAN
Teori Bahasa Teori bahasa membicarakan bahasa formal (formal language), terutama untuk kepentingan perancangan kompilator (compiler) dan pemroses naskah (text processor). Bahasa formal adalah kumpulan kalimat. Semua kalimat dalam sebuah bahasa dibangkitkan oleh sebuah tata bahasa (grammar) yang sama. Sebuah bahasa formal bisa dibangkitkan oleh dua atau lebih tata bahasa berbeda. Dikatakan bahasa formal karena grammar diciptakan mendahului pembangkitan setiap kalimatnya. Bahasa manusia bersifat sebaliknya; grammar diciptakan untuk meresmikan kata-kata yang hidup di masyarakat. Dalam pembicaraan selanjutnya ‘bahasa formal’ akan disebut ‘bahasa’ saja.

Automata
Automata adalah mesin abstrak yang dapat mengenali (recognize), menerima (accept), atau membangkitkan (generate) sebuah kalimat dalam bahasa tertentu.
Beberapa Pengertian Dasar
• Simbol adalah sebuah entitas abstrak (seperti halnya pengertian titik dalam geometri). Sebuah huruf atau sebuah angka adalah contoh simbol.
• String adalah deretan terbatas (finite) simbol-simbol. Sebagai contoh, jika a, b, dan c adalah tiga buah simbol maka abcb adalah sebuah string yang dibangun dari ketiga simbol tersebut.
• Jika w adalah sebuah string maka panjang string dinyatakan sebagai w dan didefinisikan sebagai cacahan (banyaknya) simbol yang menyusun string tersebut. Sebagai contoh, jika w = abcb maka w= 4. • String hampa adalah sebuah string dengan nol buah simbol. String hampa dinyatakan dengan simbol ε (atau ^) sehingga ε= 0. String hampa dapat dipandang sebagai simbol hampa karena keduanya tersusun dari nol buah simbol.
 • Alfabet adalah hinpunan hingga (finite set) simbol-simbol



Operasi Dasar String
Diberikan dua string : x = abc, dan y = 123
 • Prefik string w adalah string yang dihasilkan dari string w dengan menghilangkan nol atau lebih simbol-simbol paling belakang dari string w tersebut. Contoh : abc, ab, a, dan ε adalah semua Prefix(x)
• ProperPrefix string w adalah string yang dihasilkan dari string w dengan menghilangkan satu atau lebih simbol-simbol paling belakang dari string w tersebut. Contoh : ab, a, dan ε adalah semua ProperPrefix(x)
• Postfix (atau Sufix) string w adalah string yang dihasilkan dari string w dengan menghilangkan nol atau lebih simbol-simbol paling depan dari string w tersebut. Contoh : abc, bc, c, dan ε adalah semua Postfix(x)
 • ProperPostfix (atau PoperSufix) string w adalah string yang dihasilkan dari string w dengan menghilangkan satu atau lebih simbol-simbol paling depan dari string w tersebut. Contoh : bc, c, dan ε adalah semua ProperPostfix(x)
  • Head string w adalah simbol paling depan dari string w. Contoh : a adalah Head(x)
• Tail string w adalah string yang dihasilkan dari string w dengan menghilangkan
simbol paling depan dari string w tersebut.
Contoh : bc adalah Tail(x)
• Substring string w adalah string yang dihasilkan dari string w dengan
menghilangkan nol atau lebih simbol-simbol paling depan dan/atau simbol-simbol
paling belakang dari string w tersebut.
Contoh : abc, ab, bc, a, b, c, dan ε adalah semua Substring(x)
• ProperSubstring string w adalah string yang dihasilkan dari string w dengan
menghilangkan satu atau lebih simbol-simbol paling depan dan/atau simbolsimbol
paling belakang dari string w tersebut.
Contoh : ab, bc, a, b, c, dan ε adalah semua Substring(x)
• Subsequence string w adalah string yang dihasilkan dari string w dengan
menghilangkan nol atau lebih simbol-simbol dari string w tersebut.
Contoh : abc, ab, bc, ac, a, b, c, dan ε adalah semua Subsequence(x)
• ProperSubsequence string w adalah string yang dihasilkan dari string w dengan
menghilangkan satu atau lebih simbol-simbol dari string w tersebut.
Contoh : ab, bc, ac, a, b, c, dan ε adalah semua Subsequence(x)
• Concatenation adalah penyambungan dua buah string. Operator concatenation
adalah concate atau tanpa lambang apapun.
Contoh : concate(xy) = xy = abc123
• Alternation adalah pilihan satu di antara dua buah string. Operator alternation
adalah alternate atau .
Contoh : alternate(xy) = xy = abc atau 123
• Kleene Closure : x* = εxxxxxx… = εxx 2 x 3 …
• Positive Closure : x + = xxxxxx… = xx 2 x 3 …
Beberapa Sifat Operasi
• Tidak selalu berlaku : x = Prefix(x)Postfix(x)
• Selalu berlaku : x = Head(x)Tail(x)
• Tidak selalu berlaku : Prefix(x) = Postfix(x) atau Prefix(x) ≠ Postfix(x)
• Selalu berlaku : ProperPrefix(x) ≠ ProperPostfix(x)
• Selalu berlaku : Head(x) ≠ Tail(x)
• Setiap Prefix(x), ProperPrefix(x), Postfix(x), ProperPostfix(x), Head(x), dan
Tail(x) adalah Substring(x), tetapi tidak sebaliknya
• Setiap Substring(x) adalah Subsequence(x), tetapi tidak sebaliknya
• Dua sifat aljabar concatenation :
♦ Operasi concatenation bersifat asosiatif : x(yz) = (xy)z
♦ Elemen identitas operasi concatenation adalah ε : εx = xε = x
• Tiga sifat aljabar alternation :
♦ Operasi alternation bersifat komutatif : xy = yx
♦ Operasi alternation bersifat asosiatif : x(yz) = (xy)z
♦ Elemen identitas operasi alternation adalah dirinya sendiri : xx = x
• Sifat distributif concatenation terhadap alternation : x (yz) = xyxz
• Beberapa kesamaan :
♦ Kesamaan ke-1 : (x*)* = (x*)
♦ Kesamaan ke-2 : εx + = x + ε = x*
♦ Kesamaan ke-3 : (xy)* = εxyxxyyxyyx… = semua string yang
merupakan concatenation dari nol atau lebih x, y, atau keduanya.

II. GRAMMAR DAN BAHASA
Konsep Dasar
1. Dalam pembicaraan grammar, anggota alfabet dinamakan simbol terminal atau token.
2. Kalimat adalah deretan hingga simbol-simbol terminal.
3. Bahasa adalah himpunan kalimat-kalimat. Anggota bahasa bisa tak hingga kalimat.
4. Simbol-simbol berikut adalah simbol terminal :
• huruf kecil awal alfabet, misalnya : a, b, c
• simbol operator, misalnya : +, −, dan ×
• simbol tanda baca, misalnya : (, ), dan ;
• string yang tercetak tebal, misalnya : if, then, dan else.
5. Simbol-simbol berikut adalah simbol non terminal :
• huruf besar awal alfabet, misalnya : A, B, C
• huruf S sebagai simbol awal
• string yang tercetak miring, misalnya : expr dan stmt.
6. Huruf besar akhir alfabet melambangkan simbol terminal atau non terminal, misalnya : X, Y, Z.
7. Huruf kecil akhir alfabet melambangkan string yang tersusun atas simbol-simbol terminal, misalnya : x, y, z.
8. Huruf yunani melambangkan string yang tersusun atas simbol-simbol terminal atau simbol-simbol non terminal atau campuran keduanya, misalnya : α, β, dan γ.
9. Sebuah produksi dilambangkan sebagai α → β, artinya : dalam sebuah derivasi dapat dilakukan penggantian simbol α dengan simbol β.
10. Simbol α dalam produksi berbentuk α → β disebut ruas kiri produksi sedangkan simbol β disebut ruas kanan produksi.
11. Derivasi adalah proses pembentukan sebuah kalimat atau sentensial. Sebuah derivasi dilambangkan
sebagai : α ⇒ β.
12. Sentensial adalah string yang tersusun atas simbol-simbol terminal atau simbolsimbol non terminal atau campuran keduanya.
13. Kalimat adalah string yang tersusun atas simbol-simbol terminal. Jelaslah bahwa kalimat adalah kasus khusus dari sentensial.
14. Pengertian terminal berasal dari kata terminate (berakhir), maksudnya derivasi berakhir jika sentensial yang dihasilkan adalah sebuah kalimat (yang tersusun atas simbol-simbol terminal itu).
15. Pengertian non terminal berasal dari kata not terminate (belum/tidak berakhir), maksudnya derivasi belum/tidak berakhir jika sentensial yang dihasilkan mengandung simbol non terminal.

Grammar dan Klasifikasi Chomsky
Grammar G didefinisikan sebagai pasangan 4 tuple : V T , V N , S, dan Q, dan dituliskan sebagai G(V T , V N , S, Q), dimana :
 VT : himpunan simbol-simbol terminal (atau himpunan token -token, atau alfabet)
VN : himpunan simbol-simbol non terminal
S ∈ V N : simbol awal (atau simbol start)
Q : himpunan produksi

Berdasarkan komposisi bentuk ruas kiri dan ruas kanan produksinya (α → β), Noam
Chomsky mengklasifikasikan 4 tipe grammar :
1. Grammar tipe ke-0 : Unrestricted Grammar (UG)
Ciri : α, β ∈ (V T VN )*, α> 0
2. Grammar tipe ke-1 : Context Sensitive Grammar (CSG)
Ciri : α, β ∈ (V T VN )*, 0 < α ≤ β
3. Grammar tipe ke-2 : Context Free Grammar (CFG)
Ciri : α ∈ V N , β ∈ (V T VN )*
4. Grammar tipe ke-3 : Regular Grammar (RG)
Ciri : α ∈ V N , β ∈ {V T , V T VN } atau α ∈ V N , β ∈ {V T , V N VT }
Mengingat ketentuan simbol-simbol (hal. 3 no. 4 dan 5), ciri-ciri RG sering dituliskan sebagai : α ∈ V N , β ∈ {a, bC} atau α ∈ V N , β ∈ {a, Bc}
Tipe sebuah grammar (atau bahasa) ditentukan dengan aturan sebagai berikut :
A language is said to be type-i (i = 0, 1, 2, 3) language if it can be specified by a type-i grammar but can’t be specified any type-(i+1) grammar.
Contoh Analisa Penentuan Type Grammar:
1. Grammar G1 dengan Q1 = {S → aB, B → bB, B → b}. Ruas kiri semua produksinya terdiri dari sebuah V N maka G1 kemungkinan tipe CFG atau RG. Selanjutnya karena semua ruas kanannya terdiri dari sebuah V T atau string VT VN maka G1 adalah RG.

2. Grammar G 2 dengan Q 2 = {S → Ba, B → Bb, B → b}. Ruas kiri semua produksinya terdiri dari sebuah V N maka G 2 kemungkinan tipe CFG atau RG. Selanjutnya karena semua ruas kanannya terdiri dari sebuah V T atau string VN VT maka G 2 adalah RG.

3. Grammar G3 dengan Q 3 = {S → Ba, B → bB, B → b}. Ruas kiri semua produksinya terdiri dari sebuah V N maka G 3 kemungkinan tipe CFG atau RG. Selanjutnya karena ruas kanannya mengandung string V T V N (yaitu bB) dan juga string V N VT (Ba) maka G 3 bukan RG, dengan kata lain G 3 adalah CFG.

4. Grammar G 4 dengan Q 4 = {S → aAb, B → aB}. Ruas kiri semua produksinya terdiri dari sebuah V N maka G 4 kemungkinan tipe CFG atau RG. Selanjutnya karena ruas kanannya mengandung string yang panjangnya lebih dari 2 (yaitu aAb) maka G 4 bukan RG, dengan kata lain G 4 adalah CFG.

5. Grammar G5 dengan Q 5 = {S → aA, S → aB, aAb → aBCb}. Ruas kirinya mengandung string yang panjangnya lebih dari 1 (yaitu aAb) maka G5 kemungkinan tipe CSG atau UG. Selanjutnya karena semua ruas kirinya lebih pendek atau sama dengan ruas kananya maka G 5 adalah CSG.

6. Grammar G 6 dengan Q 6 = {aS → ab, SAc → bc}. Ruas kirinya mengandung string yang panjangnya lebih dari 1 maka G 6 kemungkinan tipe CSG atau UG. Selanjutnya karena terdapat ruas kirinya yang lebih panjang daripada ruas kananya (yaitu SAc) maka G 6 adalah UG.

Mesin Pengenal Bahasa
Untuk setiap kelas bahasa Chomsky, terdapat sebuah mesin pengenal bahasa. Masing-masing
mesin tersebut adalah :
Kelas Bahasa Mesin Pengenal Bahasa Unrestricted Grammar (UG) Mesin Turing (Turing Machine), TM
Context Sensitive Grammar (CSG) Linear Bounded Automaton, LBA Context Free Gammar (CFG) Automata Pushdown (Pushdown Automata), PDA Regular Grammar, RG Automata Hingga (Finite Automata), FA
Catatan :
1. Pengenal bahasa adalah salah satu kemampuan mesin turing.
2. LBA adalah variasi dari Mesin Turing Nondeterministik.
3. Yang akan dibahasa dalam kuliah Teori Bahasa dan Automata adalah : TM (sekilas), FA,
dan PDA.
III. MESIN TURING
Ilustrasi TM sebagai sebuah ‘mesin’:
Pita TM. Terbatas di kiri. Setiap sel berisi sebuah karakter dari kalimat yang akan dikenali. Di kanan kalimat terdapat tak hingga simbol hampa.
Head : membaca dan menulisi sel pita TM, bisa bergerak ke kiri atau ke akan Finite State FSC : otak dari TM, diimplementasikan dari algoritma pengenalan Control (FSC) kalimat.
Ilustrasi TM sebagai sebuah graf berarah :
1. Sebagaimana graf, TM terdiri dari beberapa node dan beberapa edge. Dari satu node mungkin terdapat satu atau lebih edge yang menuju node lainnya atau dirinya sendiri.
2. Sebuah node menyatakan sebuah stata (state). Dua stata penting adalah stata awal S (start) dan stata penerima H (halt). Sesaat sebelum proses pengenalan sebuah kalimat, TM berada pada stata S. Jika kalimat tersebut dikenali maka, setelah selesai membaca kalimat tersebut, TM akan akan berhenti pada stata H.
3. Sebuah edge mempunyai ‘bobot’ yang dinotasikan sebagai triple : (a, b, d). a adalah karakter acuan bagi karakter dalam sel pita TM yang sedang dibaca head. Jika yang dibaca head adalah karakter a maka a akan di-overwrite dengan karakter b dan head akan berpindah satu sel ke arah d (kanan atau kiri).
4. Kondisi crash akan terjadi jika ditemui keadaan sebagai berikut :
j1
(a1, b1, c1)
TM sedang berada pada stata i. Jika TM sedang
(a2, b2, c2) membaca simbol ax ≠ a1 ≠ a2 ≠ … ≠ an maka
i j2 TM tidak mungkin beranjak dari stata i. Jadi
pada kasus ini penelusuran (tracing) TM ber-
(an, bn, cn) akhir pada stata i.
jn


IV. AUTOMATA HINGGA (AH)
• AH didefinisikan sebagai pasangan 5 tupel : (K, V T , M, S, Z).
K : himpunan hingga stata,
VT : himpunan hingga simbol input (alfabet)
M : fungsi transisi, menggambarkan transisi stata AH akibat pembacaan simbol input.
Fungsi transisi ini biasanya diberikan dalam bentuk tabel.
S ∈ K : stata awal
Z ⊂ K : himpunan stata penerima
• Ada dua jenis automata hingga : deterministik (AHD, DFA = deterministic finite
automata) dan non deterministik (AHN, NFA = non deterministik finite automata).
- AHD : transisi stata AH akibat pembacaan sebuah simbol bersifat tertentu.
M(AHD) : K × V T → K
- AHN : transisi stata AH akibat pembacaan sebuah simbol bersifat tak tentu.
M(AHN) : K × VT → 2K

IV. 1. Automata Hingga Deterministik (AHD)
Berikut ini sebuah contoh AHD F(K, V T , M, S, Z), dimana :
K = {q0, q1, q2} M diberikan dalam tabel berikut :
VT = {a, b} a b
S = q0 q0 q0 q1
Z = {q0, q1} q1 q0 q2
q2 q2 q2
Ilustrasi graf untuk AHD F adalah sebagai berikut :
Lambang stata awal adalah node dengan anak panah.
Lambang stata awal adalah node ganda.
a b a
q0 q1 q2 b
a b
Contoh kalimat yang diterima AHD : a, b, aa, ab, ba, aba, bab, abab, baba
Contoh kalimat yang tidak diterima AHD : bb, abb, abba
AHD ini menerima semua kalimat yang tersusun dari simbol a dan b yang tidak mengandung
substring bb.


Sumber : ajuarna.staff.gunadarma.ac.id/.../TeoriBahasaAutomata.pdf
http://fitri27girsang.blogspot.com/2013/03/teori-bahasa-dan-automata.html